Математика четырёхсторонней монеты

Генератор времён года — это четырёхсторонняя монета. Каждый исход имеет вероятность ровно 25%, обеспечивая 2 бита энтропии за выбор (log₂(4) = 2). Сравните с подбрасыванием монеты (1 бит) или шестигранным кубиком (2,58 бита). Четыре равновероятных исхода находятся в приятной математической точке равновесия: достаточно разнообразия, чтобы случайность ощущалась по-настоящему, и достаточно мало вариантов, чтобы каждый результат появлялся часто и позволял отслеживать закономерности.

Сходимость на больших масштабах

Выберите время года 100 раз, и каждая категория должна набрать около 25 попаданий. Стандартное отклонение для любой отдельной категории в 100 испытаниях составляет примерно 4,3 (квадратный корень из n \u00D7 p \u00D7 (1-p), где n=100 и p=0,25). Это означает, что получить 20 или 30 выпадений любого времени года — вполне нормально. График сходимости выше отслеживает все четыре процента в реальном времени. Первые выборы создают резкие колебания. Продолжительные выборы плавно подтягивают все четыре линии к равновесию в 25%. Четыре цветные нити, сходящиеся к одному значению: закон больших чисел, ставший зримым.

Времена года и вероятность

Человеческая интуиция хорошо справляется с двухисходными вероятностями (орёл или решка — это интуитивно понятно), но испытывает трудности с четырёхвариантным распределением. Когда людей просят сгенерировать «случайную» последовательность из четырёх элементов, большинство чередует их слишком равномерно, избегая естественных скоплений и серий, которые производит настоящая случайность. Серия из трёх «лет» подряд кажется ошибкой. Но это не так. Вероятность того, что любое конкретное время года выпадет три раза подряд, составляет (1/4)³ = 1,56%, а значит, за 100 выборов можно ожидать как минимум одну серию из трёх одинаковых результатов подряд.

Астрономические времена года

Наклон земной оси в 23,4 градуса порождает времена года. Весна начинается в мартовское равноденствие, лето — в июньское солнцестояние, осень — в сентябрьское равноденствие, а зима — в декабрьское солнцестояние. Это астрономические определения, основанные на орбитальном положении Земли относительно Солнца. Метеорологические определения отличаются: они группируют календарные месяцы по сезонам для удобства статистического анализа (с марта по май = весна и так далее). Этот генератор не подчиняется ни одной системе. Он даёт каждому времени года ровно 25% вне зависимости от того, какой сейчас месяц.

Применение в учебных целях

Генератор с четырьмя исходами дополняет классический урок с подбрасыванием монеты, расширяя концепции вероятности за пределы двоичности. Попросите учеников выбрать время года по 20 раз каждый и сравнить распределения. У одних будет почти равномерное распределение. У других — неравномерные результаты вроде 8-6-4-2. И то, и другое нормально. Обсуждение в классе на тему «что считается справедливым» с четырьмя исходами вместо двух углубляет понимание ожидаемого разброса и размера выборки. График сходимости, проецируемый на экран, демонстрирует закон больших чисел с четырьмя конкурирующими линиями вместо одной.

Конфиденциальность на уровне архитектуры

Каждый выбор времени года вызывает crypto.getRandomValues() в вашем браузере. Сервер доставляет эту страницу и заканчивает работу. История ваших выборов остаётся в localStorage вашего браузера. Сервер не хранит записей о ваших результатах. Когда вы делитесь этим инструментом, вы делитесь ссылкой. Ваш друг генерирует собственные независимые результаты с помощью генератора случайных чисел своего устройства.