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Cada primo neste intervalo é selecionado com igual probabilidade. Gerado inteiramente no seu navegador.
Um número primo tem exatamente dois fatores: um e ele próprio. Esta definição aparentemente simples produz uma das estruturas mais profundas da matemática. Cada número inteiro maior que um pode ser expresso como um produto único de primos, um resultado tão fundamental que é chamado de Teorema Fundamental da Aritmética. O número 60 é 2 × 2 × 3 × 5. O número 83 é simplesmente 83. Um decompõe-se. O outro permanece sozinho. Os primos são os átomos a partir dos quais todos os outros números são construídos.
Por volta de 300 a.C., Euclides provou que os números primos nunca terminam. A sua prova continua a ser uma das mais elegantes de toda a matemática: suponha que existe um número finito de primos, multiplique-os todos entre si, adicione um, e o resultado não é divisível por nenhum deles. Portanto, outro primo deve existir. Esta contradição prova que a oferta é infinita. Vinte e três séculos depois, o argumento é ensinado em todos os cursos de teoria dos números em todo o mundo, tão fresco como no dia em que foi concebido.
Entre 2 e 9.999, existem exatamente 1.229 primos. Entre 2 e um milhão, há 78.498. A densidade diminui à medida que os números crescem, mas os primos nunca deixam de aparecer. O Teorema dos Números Primos, conjeturado por Carl Friedrich Gauss aos quinze anos e provado independentemente por Jacques Hadamard e Charles-Jean de la Vallée Poussin em 1896, afirma que o número de primos abaixo de N se aproxima de N / ln(N). Perto de mil milhões, aproximadamente um em cada 21 números é primo.
Para intervalos até um milhão, a ferramenta constrói um crivo completo de primos no seu navegador usando o Crivo de Eratóstenes, inventado por volta de 240 a.C. O algoritmo elimina sistematicamente os números compostos: risca os múltiplos de 2, depois os múltiplos de 3, depois 5, e assim por diante. O que resta é cada primo no intervalo. A ferramenta seleciona então um aleatoriamente usando crypto.getRandomValues(), a mesma fonte de entropia criptográfica que protege as operações bancárias online. Cada primo no intervalo tem exatamente a mesma probabilidade de ser selecionado.
Para intervalos acima de um milhão, a ferramenta gera candidatos aleatórios e testa cada um quanto à primalidade usando divisão por tentativa até à raiz quadrada. Este é o método mostrado na animação de divisibilidade acima: se nenhum inteiro de 2 até √N divide uniformemente, o número é primo. Em mil milhões, a raiz quadrada é cerca de 31.623, portanto cada teste leva microssegundos. O resultado é o mesmo: um primo verificado, selecionado de forma justa, calculado inteiramente no seu dispositivo.
Os primos gémeos são pares separados por exatamente dois: (3, 5), (11, 13), (29, 31), (41, 43). Se existem infinitos pares de gémeos continua a ser um dos grandes problemas não resolvidos da matemática. Em 2013, Yitang Zhang fez uma descoberta revolucionária ao provar que existem infinitos pares de primos com um intervalo de no máximo 70 milhões. Trabalhos colaborativos subsequentes através do projeto Polymath reduziram esse limite para 246. O intervalo de 246 a 2 permanece em aberto.
A exibição de vizinhos abaixo de cada resultado mostra esta estrutura de intervalos em tempo real. Gere alguns primos e observe como os intervalos variam de forma imprevisível. Quando um intervalo de 2 aparece, a ferramenta destaca-o como um par gémeo. O painel de estatísticas regista quantos gémeos descobre. Cada primo gémeo que esta ferramenta gera é um pequeno ponto de dados numa questão que resistiu a provas durante mais de dois mil anos.
Os números primos servem como porta de entrada para a teoria dos números para estudantes de todos os níveis. Peça a cada estudante que gere um primo a partir de /prime/2/100 e o verifique manualmente: divida por 2, 3, 5, 7. Se nenhum divide uniformemente, o número é primo, porque 7² = 49 excede o intervalo. A animação de divisibilidade acima do resultado demonstra exatamente este processo. Para estudantes mais avançados, experimente /prime/100/999 e explore por que mais fatores precisam de ser testados à medida que os números crescem. O limite da raiz quadrada é uma lição concreta em eficiência algorítmica.
Projete /prime/1000/9999 e gere dez primos. Peça aos estudantes que identifiquem pares gémeos e calculem os intervalos entre primos consecutivos. A dispersão da distribuição no painel de estatísticas constrói um mapa visível de onde os primos se encontram. Compare com a previsão do teorema dos números primos: perto de N, a densidade de primos é aproximadamente 1/ln(N). A ferramenta não requer contas, não armazena dados e não define cookies. Os estudantes usam-na e não deixam rasto.
Cada primo gerado nesta página provém do gerador de números aleatórios do seu próprio navegador. O servidor entrega a página e o algoritmo do crivo. O seu dispositivo executa o cálculo, seleciona o primo e apresenta o resultado. O servidor nunca sabe qual primo recebeu. O seu histórico de geração reside no localStorage do seu dispositivo, sob o seu controlo exclusivo.
O URL define o intervalo completamente. Escreva quaisquer limites diretamente na barra de endereço:
Envie este link. Eles recebem o mesmo intervalo, um primo diferente. Compare os vossos números indivisíveis.
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