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Cada uma das 230,300 combinações possíveis é igualmente provável.
Selecionar 4 números únicos de um conjunto de 50 é uma operação fundamental em combinatória. O resultado é uma combinação: um conjunto onde a ordem não importa e a repetição é proibida. O número de resultados possíveis segue o coeficiente binomial C(50, 4) = 230,300. Cada uma dessas combinações tem exatamente a mesma probabilidade de aparecer. Esta é a garantia matemática por trás da amostragem justa.
Em 1938, Ronald Fisher e Frank Yates publicaram um método para gerar permutações aleatórias em seu livro Statistical Tables for Biological, Agricultural and Medical Research. O algoritmo funciona percorrendo o conjunto e trocando cada posição com uma posição escolhida aleatoriamente entre os elementos restantes. Para sortear um subconjunto, apenas as primeiras k trocas são necessárias. Esse embaralhamento parcial é executado em tempo O(k) e garante que toda combinação de k itens seja igualmente provável, desde que a fonte de aleatoriedade subjacente seja uniforme.
A ferramenta nesta página implementa um embaralhamento parcial de Fisher-Yates alimentado por crypto.getRandomValues(), a API Web Cryptography integrada ao seu navegador. Esta é a mesma fonte de entropia que protege conexões TLS e mensagens criptografadas. Ruído térmico de hardware e instabilidade elétrica produzem aleatoriedade que a mecânica quântica prova ser fundamentalmente imprevisível. O algoritmo é executado inteiramente no seu dispositivo. O servidor entrega esta página e nada mais.
A intuição falha espetacularmente ao estimar a probabilidade de sobreposição. Se duas pessoas sorteiam independentemente 4 números de 1 a 50, qual é a chance de compartilharem pelo menos um número? Para 5 de 50, a resposta é aproximadamente 42%. Quase metade das vezes, dois sorteios independentes terão pelo menos um valor em comum. Esta é uma variação do problema do aniversário, um dos resultados contraintuitivos mais célebres da teoria da probabilidade. A formulação original do aniversário mostra que em um grupo de apenas 23 pessoas, a probabilidade de um aniversário compartilhado ultrapassa 50%. O mecanismo é o mesmo: há muito mais pares para comparar do que as pessoas esperam.
A amostragem aleatória sem reposição é a base da metodologia de pesquisas, ensaios clínicos e controle de qualidade. Jerzy Neyman formalizou a teoria matemática da amostragem em 1934, estabelecendo que uma amostra aleatória corretamente sorteada permite inferências válidas sobre toda uma população. Quando uma empresa farmacêutica testa um novo tratamento em 500 pacientes sorteados de uma população de milhões, a justiça do processo de seleção é o que torna os resultados generalizáveis. Cada paciente deve ter uma probabilidade igual de inclusão, e nenhum paciente pode aparecer duas vezes. Isso é precisamente o que "números aleatórios únicos de um intervalo" realiza em forma abstrata.
Conjuntos de números aleatórios são uma ferramenta didática versátil. Peça a cada aluno que visite /numbers/6/1/49 e faça um sorteio. Pergunte à turma quantos alunos compartilharão pelo menos um número com um colega, e depois verifique. A diferença entre a previsão e a realidade é um ponto de partida produtivo para discutir probabilidade condicional e o problema do aniversário. Para uma aula mais avançada, peça aos alunos que sorteiem repetidamente 5 de 50 e acompanhem a média acumulada. O gráfico de convergência nesta página mostra a média da turma se aproximando de 25.5 em tempo real.
A ferramenta se adapta a qualquer plano de aula através da URL. Experimente /numbers/3/1/10 para alunos mais jovens explorando conjuntos pequenos, ou /numbers/10/1/100 para exploração mais ampla. Sem contas, sem cadastros, sem coleta de dados. Os alunos usam a ferramenta e não deixam rastro.
Cada conjunto de números nesta página é gerado inteiramente dentro do seu navegador. O servidor entrega a página com seus parâmetros incorporados na URL. Seu dispositivo cria o resultado aleatório usando aleatoriedade semeada por hardware da API Web Cryptography. Seu histórico de sorteios fica no localStorage do seu navegador, sob seu controle exclusivo. Compartilhar a URL envia a configuração da ferramenta para um amigo, e o dispositivo dele gera resultados completamente independentes. Duas pessoas visitando o mesmo link quase certamente verão conjuntos de números diferentes. A URL carrega a ferramenta. Seu dispositivo carrega a aleatoriedade.
A URL define a ferramenta completamente. Ajuste a quantidade e o intervalo diretamente na barra de endereço:
Escolha uma predefinição ou insira sua própria quantidade e intervalo. A URL é atualizada e a ferramenta recarrega.
Envie este link. Eles recebem o mesmo conjunto, com seu próprio sorteio. Compare os conjuntos e conte as coincidências.
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