पत्थर कागज़ कैंची

तीन इशारों में गेम थ्योरी

पत्थर कागज़ कैंची अस्तित्व में सबसे सरल गैर-तुच्छ रणनीतिक खेल है। तीन विकल्प एक पूर्ण चक्र बनाते हैं: पत्थर कैंची को कुचलता है, कैंची कागज़ को काटती है, कागज़ पत्थर को ढकता है। हर विकल्प ठीक एक प्रतिद्वंद्वी को हराता है और ठीक एक दूसरे से हारता है। यह चक्रीय प्रभुत्व संरचना, जहाँ कोई एक विकल्प सार्वभौमिक रूप से सबसे मजबूत नहीं है, वह है जिसे गणितज्ञ अपरिवर्ती (intransitive) संबंध कहते हैं। यह जीव विज्ञान, पारिस्थितिकी और अर्थशास्त्र में हर उस जगह दिखाई देता है जहाँ संतुलन के लिए यह आवश्यक है कि कोई एकल रणनीति स्थायी रूप से हावी न हो सके।

मनुष्यों का पत्थर पूर्वाग्रह

ज़ेजियांग विश्वविद्यालय के झिजियान वांग और उनके सहयोगियों ने 2014 में पत्थर कागज़ कैंची के सबसे बड़े नियंत्रित अध्ययनों में से एक किया, जिसमें 300 से अधिक प्रतिभागियों को प्रत्येक 300 राउंड में देखा गया। डेटा ने एक लगातार विषमता उजागर की: खिलाड़ियों ने लगभग 36% बार पत्थर चुना, जबकि कागज़ और कैंची प्रत्येक के लिए लगभग 33%। यह पूर्वाग्रह इतना सूक्ष्म है कि अधिकांश खिलाड़ी इसे स्वयं में कभी नहीं पहचानते, फिर भी हजारों राउंड में सांख्यिकीय रूप से अचूक होने के लिए पर्याप्त महत्वपूर्ण है।

अध्ययन ने एक व्यवहार पैटर्न भी दर्ज किया जिसे शोधकर्ताओं ने सशर्त प्रतिक्रिया कहा। जो खिलाड़ी एक राउंड जीतते थे, वे अपना विजयी थ्रो दोहराते थे। जो खिलाड़ी हारते थे, वे उस थ्रो पर जाते थे जो उनके प्रतिद्वंद्वी के सबसे हाल के विकल्प को हरा सकता था। यह एक पूर्वानुमेय लय बनाता है जिसका सतर्क प्रतिद्वंद्वी (और सरल एल्गोरिदम) शोषण कर सकते हैं। एक वास्तव में यादृच्छिक जनरेटर के विरुद्ध, ये मानवीय प्रवृत्तियाँ न तो कोई लाभ उत्पन्न करती हैं और न ही कोई दंड। हर थ्रो को पहले जो भी आया हो उसकी परवाह किए बिना ठीक ⅓ संभावना मिलती है।

एक-तिहाई पर नैश संतुलन

जॉन नैश ने 1950 में साबित किया कि हर परिमित खेल में कम से कम एक संतुलन बिंदु होता है: रणनीतियों का एक ऐसा समूह जहाँ कोई भी खिलाड़ी केवल अपनी रणनीति बदलकर अपना परिणाम सुधार नहीं सकता। पत्थर कागज़ कैंची के लिए, अद्वितीय नैश संतुलन हर विकल्प को ठीक ⅓ संभावना के साथ खेलने की मिश्रित रणनीति है। इस संतुलन बिंदु पर, किसी भी प्रतिद्वंद्वी रणनीति के विरुद्ध आपका अपेक्षित परिणाम समान होता है। किसी भी दिशा में ⅓ से विचलित हों और एक जानकार प्रतिद्वंद्वी को बढ़त मिल जाती है।

जॉन वॉन न्यूमन ने दो दशक पहले अपने 1928 के मिनिमैक्स प्रमेय के साथ गणितीय आधार स्थापित किया था, जिसमें साबित किया कि हर दो-खिलाड़ी शून्य-योग खेल में एक इष्टतम मिश्रित रणनीति होती है। पत्थर कागज़ कैंची प्रमेय के सबसे सुलभ उदाहरणों में से एक बन गया: वह खेल जहाँ पूर्ण खेल शुद्ध यादृच्छिकता से अप्रभेद्य दिखता है। इस पृष्ठ पर जनरेटर उस इष्टतम अप्रत्याशितता को Web Cryptography API के माध्यम से लागू करता है। यह नैश संतुलन को मूर्त रूप देता है: हर बार एक पूर्ण एक-तिहाई विभाजन, शून्य शोषण योग्य स्मृति के साथ।

मनुष्य यादृच्छिकता से क्यों जूझते हैं

टोक्यो विश्वविद्यालय के शोधकर्ताओं ने सैकड़ों मैचों में मानव पत्थर कागज़ कैंची खेल के पैटर्न की जाँच करते हुए एक अध्ययन प्रकाशित किया। प्रतिभागियों ने लगातार एक "जीत-रहो, हार-बदलो" पैटर्न का पालन किया: जीतने के बाद अपना विकल्प दोहराना और हारने के बाद पत्थर-कागज़-कैंची क्रम में अगले विकल्प पर जाना। जिन खिलाड़ियों को अपने थ्रो यादृच्छिक बनाने के लिए कहा गया, उन्होंने भी पहचानने योग्य अनुक्रम उत्पन्न किए। मानव मस्तिष्क सक्रिय रूप से पैटर्न बनाता है। वास्तविक यादृच्छिकता के लिए उन प्रवृत्तियों को दबाना आवश्यक है जो मनुष्यों को हर दूसरे क्षेत्र में प्रभावी पैटर्न पहचानकर्ता बनाती हैं।

यह संज्ञानात्मक प्रवृत्ति प्रयोगशाला से परे भी फैलती है। विश्व पत्थर कागज़ कैंची चैंपियनशिप, जो एक दशक से अधिक समय तक आयोजित की गई, ने दिखाया कि शीर्ष प्रतियोगी यादृच्छिक रूप से खेलने के बजाय प्रतिद्वंद्वियों को पढ़कर सफल होते हैं। वे उन पैटर्न का शोषण करते हैं जो मानव मस्तिष्क उत्पन्न करने से बच नहीं सकता। एक क्रिप्टोग्राफिक यादृच्छिक जनरेटर उन प्रवृत्तियों के बिना काम करता है। यह ऐसे अनुक्रम उत्पन्न करता है जो स्वतंत्रता के हर सांख्यिकीय परीक्षण में टिके रहते हैं, क्योंकि हर थ्रो किसी भी पिछले परिणाम से शून्य संबंध के साथ ताज़ा हार्डवेयर एन्ट्रॉपी से आता है।

बड़े पैमाने पर

1,000 बार फेंकें और हर विकल्प के लगभग 333 बार आने की उम्मीद है। किसी भी एकल परिणाम के लिए मानक विचलन लगभग 14.9 है (1000 × ⅓ × ⅔ का वर्गमूल)। 1,000 थ्रो में पत्थर की 304 और 363 के बीच उपस्थिति देखना दो मानक विचलन के भीतर आता है, जो लगभग 95% परीक्षणों को कवर करता है। जैसे-जैसे थ्रो की संख्या बढ़ती है, तीनों गणनाएँ समान तिहाई की ओर अभिसरित होती हैं। शुरुआती अनुक्रम असमान दिखते हैं। विस्तारित अनुक्रम समरूपता की ओर सुचारू होते हैं। यह तीन-परिणाम प्रणाली पर लागू बड़ी संख्याओं का नियम है।

कक्षा में

पत्थर कागज़ कैंची संभावना के पाठों को दो-परिणाम सिक्का उछाल से तीन परिणामों तक स्वाभाविक रूप से विस्तारित करता है। हर छात्र को dice83.com/rps का उपयोग करके 30 बार फेंकने और अपना वितरण दर्ज करने के लिए कहें। शुरू करने से पहले, कक्षा से पूछें कि तीनों गणनाएँ कितनी समान रूप से फैलेंगी। अधिकांश छात्र लगभग पूर्ण तिहाई की उम्मीद करते हैं: लगभग 10-10-10। वास्तविक परिणाम उन्हें आश्चर्यचकित करेंगे। एक विकल्प आमतौर पर 14 या अधिक बार आता है जबकि दूसरा 6 या उससे नीचे गिर जाता है। वह विविधता वास्तविक यादृच्छिकता काम कर रही है, और यह अंतर्ज्ञान की भविष्यवाणी से कहीं अधिक अव्यवस्थित दिखती है।

गेम थ्योरी के पाठ के लिए, छात्रों को जोड़ी बनाकर एक-दूसरे के विरुद्ध 20 राउंड खेलने दें और हर थ्रो दर्ज करें। फिर हर छात्र को जनरेटर के विरुद्ध 20 राउंड खेलने दें। दोनों अनुभवों की तुलना करें। मनुष्य के विरुद्ध, पैटर्न उभरते हैं। जनरेटर के विरुद्ध, कोई पैटर्न मदद नहीं करता। यह विरोधाभास बिना किसी समीकरण के नैश संतुलन की अवधारणा प्रस्तुत करता है: एक अप्रत्याशित प्रतिद्वंद्वी के विरुद्ध इष्टतम रणनीति स्वयं अप्रत्याशित बनना है। इस टूल के लिए किसी खाते की आवश्यकता नहीं है, कोई छात्र डेटा एकत्र नहीं किया जाता, और कोई कुकीज़ सेट नहीं की जातीं।

संरचना से निजी

dice83 पत्थर कागज़ कैंची जनरेटर गोपनीयता-प्रथम संरचना के भाग के रूप में पूरी तरह से आपके ब्राउज़र के अंदर चलता है। सर्वर यह पृष्ठ प्रदान करता है। आपका उपकरण हर थ्रो बनाता है। आपका इतिहास केवल आपके नियंत्रण में localStorage में रहता है। कोई खाते नहीं, कोई ट्रैकिंग कुकीज़ नहीं, आपके अपने उपकरण के अलावा कहीं भी कोई परिणाम डेटा संग्रहीत नहीं।

साझा करना स्वाभाविक रूप से सुरक्षित है। यह URL भेजें और प्राप्तकर्ता को अपने स्वयं के उपकरण से स्वतंत्र परिणाम उत्पन्न करने वाला वही टूल मिलता है। एक ही लिंक पर आने वाले दो लोग पूरी तरह से अलग थ्रो उत्पन्न करते हैं। URL टूल लाता है। आपका उपकरण यादृच्छिकता लाता है।