यादृच्छिक विभाजन का गणित

किसी मात्रा को यादृच्छिक अनुपातों में विभाजित करना प्रायिकता की सबसे पुरानी समस्याओं में से एक है। कल्पना करें कि एक छड़ी को यादृच्छिक बिंदुओं पर तोड़ा जाए और टुकड़ों को मापा जाए। गणितज्ञ परिणामी विभाजन को यादृच्छिक संरचना कहते हैं, और 100 को 7 धनात्मक पूर्णांक भागों में विभाजित करने के हर मान्य तरीके की संभावना बिल्कुल समान होती है। इस टूल के पीछे का एल्गोरिदम 99 संभावित स्थानों में 6 अद्वितीय विभाजन बिंदु रखता है, उन्हें क्रमबद्ध करता है, और अंतरालों को मापता है। सरल, तेज़, और सिद्ध रूप से निष्पक्ष।

टूटी हुई छड़ी का आश्चर्य

किसी से पूछें कि 7 समान-संभावना वाले भागों में छड़ी तोड़ने पर सबसे बड़े टुकड़े का औसत कितना होगा। अधिकांश लोग 14% के आसपास अनुमान लगाते हैं। वास्तविक उत्तर कहीं अधिक है। 7 भागों के लिए, अपेक्षित सबसे बड़ा टुकड़ा हार्मोनिक संख्या सूत्र का पालन करता है: कुल का H(7)/7। यह लगभग 37% होता है। ऊपर वितरण रेखा पर E[max] लेबल वाला सुनहरा मार्कर इस सैद्धांतिक मान को ट्रैक करता है। विभाजन करते रहें और देखें कि आपके बिंदु इसके आसपास कैसे एकत्रित होते हैं।

सिम्प्लेक्स पर एकरूपता

ज्यामितीय रूप से, 100 को 7 गैर-ऋणात्मक भागों में विभाजित करने के सभी संभावित तरीके (6)-सिम्प्लेक्स नामक आकृति पर स्थित होते हैं। दो भागों के लिए, सिम्प्लेक्स एक रेखा खंड है। तीन भागों के लिए, यह एक त्रिभुज है। चार के लिए, एक चतुष्फलक। यादृच्छिक संरचना एल्गोरिदम इस ज्यामितीय वस्तु पर समान रूप से नमूना लेता है, जिसका अर्थ है कि सतह पर प्रत्येक बिंदु की संभावना समान है। गणितज्ञों पीटर गुस्ताव लेजुन डिरिक्ले और बाद में जॉर्ज पॉल्या ने यादृच्छिक विभाजनों के वितरण को औपचारिक रूप दिया, और सभी पैरामीटर 1 के बराबर होने वाला डिरिक्ले वितरण ठीक उसी का सतत एनालॉग वर्णन करता है जो यह टूल पूर्णांक राउंडिंग के साथ उत्पन्न करता है।

निष्पक्षता और एन्ट्रॉपी

प्रत्येक विभाजन crypto.getRandomValues() को कॉल करता है, जो हर आधुनिक ब्राउज़र में निर्मित Web Cryptography API है। यह फ़ंक्शन हार्डवेयर-स्तरीय एन्ट्रॉपी स्रोतों से लेता है: थर्मल नॉइज़, इलेक्ट्रिकल जिटर, और आपके डिवाइस में अन्य भौतिक प्रक्रियाएँ। यादृच्छिक विभाजन बिंदु इन हार्डवेयर सीड्स से रिजेक्शन सैम्पलिंग के माध्यम से चुने जाते हैं, जो सभी मान्य स्थानों की एकसमान कवरेज सुनिश्चित करता है। आपका ब्राउज़र सारी गणना करता है। सर्वर यह पेज डिलीवर करता है और कुछ नहीं। उसे कभी आपका परिणाम पता नहीं चलता।

कक्षा में

यादृच्छिक अनुपात भिन्नों, प्रतिशतों और संसाधन आवंटन सिखाने के लिए स्वाभाविक उपकरण हैं। छात्रों को एक परिदृश्य दें: एक स्कूल के पास 7 कार्यक्रमों में विभाजित करने के लिए 100 इकाइयों का बजट है। प्रत्येक छात्र से /ratio/7 पर जाकर बार-बार विभाजन करवाएँ। हर बार सबसे बड़ा आवंटन रिकॉर्ड करें। प्रति छात्र 20 विभाजनों के बाद, सबसे बड़े भाग का कक्षा औसत निकालें। यह हार्मोनिक संख्या भविष्यवाणी की ओर अभिसरित होता है, यह दर्शाता है कि प्रायिकता सिद्धांत कैसे समग्र व्यवहार की भविष्यवाणी करता है, भले ही व्यक्तिगत परिणाम बहुत भिन्न हों।

पाई चार्ट अभ्यास के लिए, छात्रों से /ratio/5 से एक विभाजन उत्पन्न करवाएँ, फिर हाथ से संबंधित पाई चार्ट बनवाएँ। प्रतिशत को कोणों में बदलना (प्रत्येक 1% = 3.6 डिग्री) भिन्नों, प्रतिशतों और ज्यामितीय प्रतिनिधित्व के बीच संबंध को मज़बूत करता है। इस टूल के लिए किसी अकाउंट की आवश्यकता नहीं है, यह कोई छात्र डेटा एकत्र नहीं करता, और कोई कुकीज़ सेट नहीं करता।

संरचना द्वारा गोपनीय

हर विभाजन आपके ब्राउज़र के अंदर होता है। सर्वर पेज डिलीवर करता है। आपका डिवाइस अनुपात उत्पन्न करता है। परिणाम आपके ब्राउज़र की मेमोरी और localStorage में रहते हैं, पूरी तरह आपके नियंत्रण में। इस URL को साझा करने से टूल कॉन्फ़िगरेशन दूसरे व्यक्ति को भेजा जाता है। उनका डिवाइस अपने स्वयं के एन्ट्रॉपी स्रोत से अपना स्वतंत्र विभाजन उत्पन्न करता है। एक ही लिंक पर जाने वाले दो लोग हर बार पूरी तरह अलग परिणाम प्राप्त करते हैं।