अविभाज्य संख्याएँ

एक अभाज्य संख्या के ठीक दो गुणनखंड होते हैं: एक और वह स्वयं। यह भ्रामक रूप से सरल परिभाषा गणित की सबसे गहरी संरचनाओं में से एक उत्पन्न करती है। एक से बड़े प्रत्येक पूर्णांक को अभाज्य संख्याओं के एक अद्वितीय गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, यह परिणाम इतना मौलिक है कि इसे अंकगणित का मूलभूत प्रमेय कहा जाता है। संख्या 60 = 2 × 2 × 3 × 5 है। संख्या 83 बस 83 ही है। एक विघटित होती है। दूसरी अकेली खड़ी रहती है। अभाज्य संख्याएँ वे परमाणु हैं जिनसे हर दूसरी संख्या बनती है।

अनंत और अखंडनीय

लगभग 300 ईसा पूर्व, यूक्लिड ने सिद्ध किया कि अभाज्य संख्याएँ कभी समाप्त नहीं होतीं। उनका प्रमाण गणित के सबसे सुंदर प्रमाणों में से एक बना हुआ है: मान लीजिए कि सीमित अभाज्य संख्याएँ हैं, उन सभी को आपस में गुणा कीजिए, एक जोड़िए, और परिणाम उनमें से किसी से भी विभाज्य नहीं होगा। इसलिए एक और अभाज्य संख्या अवश्य मौजूद होनी चाहिए। यह विरोधाभास सिद्ध करता है कि इनकी आपूर्ति अनंत है। तेईस शताब्दियों बाद, यह तर्क दुनिया भर के हर संख्या सिद्धांत पाठ्यक्रम में पढ़ाया जाता है, उतना ही ताज़ा जैसा कि जिस दिन इसकी रचना हुई थी।

2 और 9,999 के बीच ठीक 1,229 अभाज्य संख्याएँ हैं। 2 और दस लाख के बीच 78,498 हैं। संख्याओं के बढ़ने के साथ घनत्व कम होता जाता है, फिर भी अभाज्य संख्याएँ कभी आना बंद नहीं करतीं। अभाज्य संख्या प्रमेय, जिसका अनुमान कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने पंद्रह वर्ष की आयु में लगाया था और जिसे 1896 में जैक्स हैडामार्ड और शार्ल-ज़ाँ दे ला वाले-पूसाँ ने स्वतंत्र रूप से सिद्ध किया, यह बताता है कि N से नीचे अभाज्य संख्याओं की संख्या N / ln(N) के करीब पहुँचती है। एक अरब के आसपास, लगभग हर 21 में से एक संख्या अभाज्य होती है।

यह उपकरण अभाज्य संख्याएँ कैसे जनरेट करता है

दस लाख तक की सीमाओं के लिए, यह उपकरण आपके ब्राउज़र में एराटोस्थनीज़ की छलनी का उपयोग करके एक पूर्ण अभाज्य छलनी बनाता है, जिसका आविष्कार लगभग 240 ईसा पूर्व हुआ था। यह एल्गोरिदम व्यवस्थित रूप से भाज्य संख्याओं को हटाता है: 2 के गुणजों को काटिए, फिर 3 के गुणजों को, फिर 5 के, और इसी तरह आगे। जो बचता है वह सीमा की प्रत्येक अभाज्य संख्या है। फिर उपकरण crypto.getRandomValues() का उपयोग करके यादृच्छिक रूप से एक चुनता है, वही क्रिप्टोग्राफ़िक एन्ट्रॉपी स्रोत जो ऑनलाइन बैंकिंग को सुरक्षित रखता है। सीमा में प्रत्येक अभाज्य संख्या के चयन की बिल्कुल समान संभावना होती है।

दस लाख से ऊपर की सीमाओं के लिए, उपकरण यादृच्छिक उम्मीदवार जनरेट करता है और वर्गमूल तक ट्रायल डिवीज़न का उपयोग करके प्रत्येक की अभाज्यता परीक्षण करता है। यही वह विधि है जो ऊपर विभाज्यता एनिमेशन में दिखाई जाती है: यदि 2 से √N तक कोई भी पूर्णांक समान रूप से विभाजित नहीं करता, तो संख्या अभाज्य है। एक अरब पर वर्गमूल लगभग 31,623 है, इसलिए प्रत्येक परीक्षण में माइक्रोसेकंड लगते हैं। परिणाम वही है: एक सत्यापित अभाज्य संख्या, निष्पक्ष रूप से चुनी गई, पूरी तरह आपके डिवाइस पर गणना की गई।

युग्म अभाज्य और बीच के अंतराल

युग्म अभाज्य ऐसे जोड़े हैं जिनके बीच ठीक दो का अंतर होता है: (3, 5), (11, 13), (29, 31), (41, 43)। क्या अनंत युग्म जोड़े मौजूद हैं, यह गणित की महान अनसुलझी समस्याओं में से एक बनी हुई है। 2013 में, यीतांग झांग ने यह सिद्ध करके एक सफलता हासिल की कि अनंत अभाज्य जोड़े अधिकतम 70 मिलियन के अंतराल के साथ मौजूद हैं। पॉलीमैथ परियोजना के माध्यम से बाद के सहयोगी कार्य ने उस सीमा को घटाकर 246 कर दिया। 246 से 2 तक का अंतराल अभी भी खुला है।

प्रत्येक परिणाम के नीचे पड़ोसी प्रदर्शन वास्तविक समय में इस अंतराल संरचना को दिखाता है। कुछ अभाज्य संख्याएँ जनरेट करें और देखें कि अंतराल कैसे अप्रत्याशित रूप से बदलते हैं। जब 2 का अंतराल दिखाई देता है, तो उपकरण इसे युग्म जोड़ी के रूप में हाइलाइट करता है। आँकड़े पैनल ट्रैक करता है कि आपने कितने युग्म खोजे। इस उपकरण द्वारा जनरेट किया गया प्रत्येक युग्म अभाज्य एक ऐसे प्रश्न में एक छोटा डेटा बिंदु है जिसने दो हज़ार से अधिक वर्षों से प्रमाण का प्रतिरोध किया है।

कक्षा में

अभाज्य संख्याएँ हर स्तर के छात्रों के लिए संख्या सिद्धांत का प्रवेश द्वार हैं। प्रत्येक छात्र से /prime/2/100 से एक अभाज्य संख्या जनरेट करवाएँ और हाथ से सत्यापित करवाएँ: 2, 3, 5, 7 से भाग दें। यदि कोई भी समान रूप से विभाजित नहीं करता, तो संख्या अभाज्य है, क्योंकि 7² = 49 सीमा से अधिक है। परिणाम के ऊपर विभाज्यता एनिमेशन ठीक इसी प्रक्रिया को प्रदर्शित करता है। बड़े छात्रों के लिए, /prime/100/999 आज़माएँ और जानें कि संख्याएँ बढ़ने पर अधिक गुणनखंड परीक्षण की आवश्यकता क्यों होती है। वर्गमूल सीमा एल्गोरिदमिक दक्षता का एक ठोस पाठ है।

/prime/1000/9999 प्रोजेक्ट करें और दस अभाज्य संख्याएँ जनरेट करें। छात्रों से युग्म जोड़ियाँ पहचानने और क्रमागत अभाज्य संख्याओं के बीच अंतराल की गणना करने को कहें। आँकड़े पैनल में वितरण स्कैटर अभाज्य संख्याओं के स्थान का एक दृश्य मानचित्र बनाता है। अभाज्य संख्या प्रमेय की भविष्यवाणी से तुलना करें: N के निकट, अभाज्य घनत्व लगभग 1/ln(N) होता है। उपकरण को किसी खाते, डेटा संग्रहण, या कुकीज़ की आवश्यकता नहीं है। छात्र इसका उपयोग करते हैं और कोई निशान नहीं छोड़ते।

वास्तुकला द्वारा गोपनीय

इस पृष्ठ पर जनरेट की गई प्रत्येक अभाज्य संख्या आपके ब्राउज़र के अपने यादृच्छिक संख्या जनरेटर से आती है। सर्वर पृष्ठ और छलनी एल्गोरिदम प्रदान करता है। आपका डिवाइस गणना चलाता है, अभाज्य संख्या चुनता है, और परिणाम प्रदर्शित करता है। सर्वर को कभी पता नहीं चलता कि आपको कौन सी अभाज्य संख्या मिली। आपका जनरेशन इतिहास आपके डिवाइस पर localStorage में रहता है, केवल आपके नियंत्रण में।