यादृच्छिक दशमलवों का गणित

0 और 1 के बीच एक यादृच्छिक दशमलव गणित में यादृच्छिकता की सबसे मौलिक इकाई है। अंतराल [0, 1] पर सतत समान वितरण हर बिंदु को समान प्रायिकता घनत्व प्रदान करता है। किसी भी उप-अंतराल [a, b] में आने की संभावना बिल्कुल b घटा a के बराबर होती है। 0.3 और 0.7 के बीच किसी मान की 40% प्रायिकता होती है। 0 और 0.01 के बीच किसी मान की बिल्कुल 1% प्रायिकता होती है। सरलता ही शक्ति है: अंतराल का हर हिस्सा एक ही नियम का पालन करता है।

परिशुद्धता और एन्ट्रॉपी

प्रत्येक दशमलव स्थान संभावित मानों की संख्या को दस गुना कर देता है। 16 दशमलव स्थानों के साथ, यह जनरेटर 1,000,000,000,000,000 समान रूप से संभावित मानों में से एक उत्पन्न करता है। यह प्रति दशमलव लगभग 53.2 बिट एन्ट्रॉपी के बराबर है। तुलना के लिए, एक सिक्का उछाल में 1 बिट, एक मानक पासे में 2.58 बिट, और एक 16-अक्षर के पासवर्ड में लगभग 100 बिट एन्ट्रॉपी होती है। एक अतिरिक्त दशमलव स्थान जोड़ने से 3.32 अतिरिक्त बिट एन्ट्रॉपी मिलती है, क्योंकि log₂(10) = 3.3219।

जो अंक आप देखते हैं वे crypto.getRandomValues() से यादृच्छिक बाइट्स निकालकर और रिजेक्शन सैम्पलिंग के साथ प्रत्येक बाइट को 0 से 9 के अंक में मैप करके उत्पन्न होते हैं। जो बाइट्स मॉड्यूलो बायस उत्पन्न करेंगी (250 से 255 तक के मान) उन्हें छोड़कर पुनः निकाला जाता है। यह गारंटी देता है कि हर अंक स्वतंत्र और समान रूप से यादृच्छिक है।

अनुकरण की नींव

कम्प्यूटेशनल विज्ञान में लगभग हर यादृच्छिक प्रक्रिया एक समान [0, 1] दशमलव से शुरू होती है। प्रतिलोम रूपांतरण सैम्पलिंग नामक तकनीक, जो 20वीं सदी की शुरुआत में गणितज्ञों द्वारा औपचारिक की गई थी, एक समान यादृच्छिक चर को किसी भी वांछित वितरण में बदल देती है। एक समान दशमलव को संचयी वितरण फलन के प्रतिलोम में डालें और आउटपुट बिल्कुल उसी वितरण का अनुसरण करता है। सामान्य वक्र, घातीय क्षय, पॉइसन आगमन: सभी इस एकल निर्माण खंड से उभरते हैं।

स्टैनिस्लाव उलम और जॉन वॉन न्यूमैन ने 1940 के दशक में लॉस अलामोस में मोंटे कार्लो विधियों का बीड़ा उठाया, जिसमें नाभिकीय भौतिकी में न्यूट्रॉन विसरण का अनुकरण करने के लिए समान यादृच्छिक संख्याओं का उपयोग किया गया। आज वही सिद्धांत मौसम पूर्वानुमान, वित्तीय मॉडलिंग, औषधि खोज और मशीन लर्निंग प्रशिक्षण को संचालित करता है। विनम्र [0, 1] भिन्न वह बीज है जो हर अनुकरण में विकसित होता है।

समानता को दृश्यमान बनाना

ऊपर दिया गया वितरण चार्ट अंतराल [0, 1] को दस समान खंडों में विभाजित करता है और गिनता है कि प्रत्येक में कितने उत्पन्न मान आते हैं। प्रत्येक बार का अपना रंग मान स्पेक्ट्रम से होता है: शून्य के निकट मानों के लिए कोरल, केंद्र में चमकीला पीला, और एक के निकट हरा। समय के साथ, बार समान ऊँचाई की ओर अभिसरित होते हैं। वह दृश्य समतलता ही समान वितरण है। अभिसरण चार्ट चलती हुई औसत को ट्रैक करता है। देखें कि शुरुआती मान कैसे बड़े उतार-चढ़ाव पैदा करते हैं और निरंतर उत्पादन धीरे-धीरे औसत को बिल्कुल 0.5 के अपेक्षित मान की ओर खींचता है।

कक्षा में

यादृच्छिक दशमलव अमूर्त प्रायिकता सिद्धांत और व्यावहारिक प्रयोग के बीच सीधा सेतु प्रदान करते हैं। प्रत्येक छात्र से /decimal/20 पर 20 दशमलव उत्पन्न करवाएँ और उन्हें हाथ से क्रमबद्ध करवाएँ। पूछें: कितने 0.5 से कम हैं? अपेक्षित उत्तर 10 है, लेकिन व्यक्तिगत भिन्नता अभ्यास को आश्चर्यजनक बनाती है। पूरी कक्षा के परिणामों को एक साझा हिस्टोग्राम में संयोजित करें। सामूहिक चार्ट किसी भी व्यक्तिगत सेट की तुलना में बहुत तेज़ी से पूर्ण समानता की ओर बढ़ेगा, जो दर्शाता है कि नमूना आकार सांख्यिकीय विश्वसनीयता को कैसे नियंत्रित करता है।

एक उन्नत अभ्यास के लिए, छात्रों से अपने 20 मानों का औसत निकालने को कहें। उन औसतों का कक्षा औसत 0.5 के आसपास कसकर संकुलित होगा। यह नेस्टेड अभिसरण केंद्रीय सीमा प्रमेय को दर्शाता है: यादृच्छिक नमूनों के औसत अपेक्षित मान के चारों ओर एक घंटी वक्र बनाते हैं, चाहे अंतर्निहित वितरण कुछ भी हो। इस उपकरण के लिए किसी खाते की आवश्यकता नहीं है, कोई छात्र डेटा संग्रहीत नहीं होता, और कोई ट्रैकिंग कुकीज़ सेट नहीं होती।

वास्तुकला द्वारा गोपनीय

प्रत्येक दशमलव पूरी तरह से आपके ब्राउज़र में Web Cryptography API का उपयोग करके उत्पन्न होता है। सर्वर पृष्ठ प्रदान करता है; आपका उपकरण हर मान उत्पन्न करता है। परिणाम आपके ब्राउज़र के localStorage और मेमोरी में रहते हैं, केवल आपके नियंत्रण में। इस URL को साझा करना उपकरण भेजता है, आउटपुट कभी नहीं। प्राप्तकर्ता अपने उपकरण से अपने स्वतंत्र यादृच्छिक दशमलव उत्पन्न करता है।