Les mathématiques des divisions aléatoires

Diviser une quantité en proportions aléatoires est l'un des plus anciens problèmes en probabilités. Imaginez casser un bâton en des points aléatoires et mesurer les morceaux. Les mathématiciens appellent la partition résultante une composition aléatoire, et chaque division valide de 100 en 3 parts entières positives a exactement la même probabilité. L'algorithme derrière cet outil place 2 points de coupure uniques parmi 99 positions possibles, les trie et mesure les écarts. Simple, rapide et prouvablement équitable.

La surprise du bâton cassé

Demandez à quelqu'un de deviner la taille moyenne du plus grand morceau lorsqu'on casse un bâton en 3 parts équiprobables. La plupart des gens devinent quelque chose proche de 33%. La vraie réponse est bien plus élevée. Pour 3 parts, la plus grande part attendue suit la formule du nombre harmonique : H(3)/3 du total. Cela donne environ 61%. Le marqueur doré intitulé E[max] sur la ligne de distribution ci-dessus indique cette valeur théorique. Continuez à diviser et observez vos points se regrouper autour de celle-ci.

Uniformité sur le simplexe

Géométriquement, toutes les façons possibles de diviser 100 en 3 parts non négatives vivent sur une forme appelée le simplexe de dimension 2. Pour deux parts, le simplexe est un segment de droite. Pour trois parts, c'est un triangle. Pour quatre, un tétraèdre. L'algorithme de composition aléatoire échantillonne uniformément sur cet objet géométrique, ce qui signifie que chaque point de la surface a une probabilité égale. Les mathématiciens Peter Gustav Lejeune Dirichlet et plus tard George Pólya ont formalisé la distribution des partitions aléatoires, et la distribution de Dirichlet avec tous les paramètres égaux à 1 décrit exactement l'analogue continu de ce que cet outil produit avec l'arrondi entier.

Équité et entropie

Chaque division appelle crypto.getRandomValues(), l'API Web Cryptography intégrée à tous les navigateurs modernes. Cette fonction puise dans des sources d'entropie matérielles : bruit thermique, gigue électrique et autres processus physiques de votre appareil. Les points de coupure aléatoires sont sélectionnés par échantillonnage par rejet à partir de ces graines matérielles, garantissant une couverture uniforme de toutes les positions valides. Votre navigateur effectue tous les calculs. Le serveur délivre cette page et rien de plus. Il ne connaît jamais votre résultat.

En classe

Les proportions aléatoires sont des outils pédagogiques naturels pour les fractions, les pourcentages et l'allocation des ressources. Proposez aux élèves un scénario : une école dispose d'un budget de 100 unités à répartir entre 3 programmes. Demandez à chaque élève de visiter /ratio/3 et de diviser plusieurs fois. Notez la plus grande allocation à chaque fois. Après 20 divisions par élève, calculez la moyenne de classe de la plus grande part. Elle converge vers la prédiction du nombre harmonique, démontrant comment la théorie des probabilités prédit le comportement agrégé même lorsque les résultats individuels varient énormément.

Pour un exercice de diagramme circulaire, demandez aux élèves de générer une division avec /ratio/5, puis de dessiner le diagramme circulaire correspondant à la main. Convertir les pourcentages en angles (chaque 1% vaut 3,6 degrés) renforce le lien entre fractions, pourcentages et représentation géométrique. L'outil ne nécessite aucun compte, ne collecte aucune donnée des élèves et ne dépose aucun cookie.

Confidentialité par conception

Chaque division se produit dans votre navigateur. Le serveur délivre la page. Votre appareil génère les proportions. Les résultats résident dans la mémoire et le localStorage de votre navigateur, entièrement sous votre contrôle. Partager cette URL envoie la configuration de l'outil à une autre personne. Son appareil génère sa propre division indépendante à partir de sa propre source d'entropie. Deux personnes visitant le même lien obtiennent des résultats complètement différents à chaque fois.