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100 enteros. 9.33 × 10¹⁵⁷ disposiciones posibles. Aquí tienes una.
Una mezcla plantea una pregunta matemática precisa: dados n objetos distintos, producir uno de los n! órdenes posibles, cada uno con idéntica probabilidad. Para 100 enteros, eso significa 9.33 × 10¹⁵⁷ permutaciones. La secuencia de arriba fue seleccionada de ese espacio con probabilidad uniforme, generada íntegramente en tu navegador usando el algoritmo Fisher-Yates y la API Web Cryptography.
Ronald Fisher y Frank Yates describieron el método original de mezcla en su libro de 1938 Statistical Tables for Biological, Agricultural and Medical Research. Donald Knuth lo refinó posteriormente para su implementación informática en The Art of Computer Programming (1969). La versión moderna recorre el arreglo hacia atrás. En cada posición, selecciona un elemento aleatorio de la porción aún no mezclada y los intercambia. Una sola pasada por los datos produce una mezcla uniforme perfecta en tiempo O(n) usando O(1) de espacio adicional.
La demostración de corrección muestra que tras procesar la posición k, cada una de las k! sub-disposiciones posibles de los primeros k elementos es igualmente probable. Por inducción, el resultado final cubre todas las n! permutaciones con probabilidad uniforme. Un error común de implementación, la "mezcla ingenua", selecciona del arreglo completo en cada paso en lugar de la porción no procesada. Esto produce nn secuencias de intercambio que se asignan a n! permutaciones. Como nn generalmente no es divisible entre n!, algunas permutaciones se vuelven más probables que otras. El algoritmo Fisher-Yates evita esto por completo.
El crecimiento factorial supera a cualquier otra función matemática común. Diez elementos producen 3.628.800 disposiciones. Veinte elementos producen más de 2,4 trillones. Una baraja estándar de 52 cartas genera aproximadamente 8,07 \xC3\x97 10\xE2\x81\xB6\xE2\x81\xB7 órdenes posibles. Ese número supera la cantidad estimada de átomos en el universo observable.
Considere: si cada átomo del universo mezclara una baraja una vez por nanosegundo, y lo hubiera estado haciendo desde el Big Bang hace 13.800 millones de años, el total de mezclas realizadas seguiría siendo una fracción ínfima de 52!. Cada mezcla que realizas en esta página casi con certeza crea una disposición que nunca ha existido antes y nunca volverá a existir.
Un punto fijo es un número que termina en su posición original después de la mezcla. Observa los círculos con anillo dorado de arriba: esos son tus puntos fijos. El número esperado de puntos fijos es exactamente 1, sin importar cuántos elementos mezcles. Diez elementos, un punto fijo esperado. Diez mil elementos, sigue siendo uno.
La probabilidad de que un elemento específico permanezca fijo es 1/n. Sumada sobre n elementos, la cantidad esperada es igual a 1. Este resultado, vinculado al concepto matemático de desarreglos estudiado por Leonhard Euler, significa que aproximadamente el 36,8% de todas las mezclas tienen cero puntos fijos, el 36,8% tiene exactamente uno, el 18,4% tiene exactamente dos, y las probabilidades caen rápidamente a partir de ahí.
Persi Diaconis y Dave Bayer demostraron en 1992 que una mezcla riffle estándar de una baraja de 52 cartas requiere exactamente siete iteraciones para alcanzar una aleatorización adecuada. Una mezcla digital Fisher-Yates logra lo que siete mezclas riffle físicas aproximan: una aleatorización uniforme perfecta en una sola pasada computacional.
Haz que cada estudiante visite /sequence/1/10 y mezcle una vez. Luego pregunta: ¿algún par de estudiantes obtuvo el mismo orden? Con 3.628.800 disposiciones posibles, una coincidencia es extraordinariamente improbable. Para una demostración con proyector, abre /sequence/1/52 y mezcla repetidamente. Los anillos de colores se dispersan en nuevos patrones cada vez, haciendo la aleatoriedad inmediatamente visual. La herramienta no requiere cuentas, no establece cookies y no almacena datos de estudiantes.
Envía este enlace. Obtendrán el mismo rango, con su propia permutación única.
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