Las matemáticas de las divisiones aleatorias

Dividir una cantidad en proporciones aleatorias es uno de los problemas más antiguos de la probabilidad. Imagina romper un palo en puntos aleatorios y medir los trozos. Los matemáticos llaman a la partición resultante una composición aleatoria, y cada división válida de 100 en 5 partes enteras positivas tiene exactamente la misma probabilidad. El algoritmo detrás de esta herramienta coloca 4 puntos de corte únicos entre 99 posiciones posibles, los ordena y mide los intervalos. Limpio, rápido y demostrablemente justo.

La sorpresa del palo roto

Pregúntale a alguien cuál cree que es el promedio del trozo más grande al romper un palo en 5 partes con igual probabilidad. La mayoría adivina algo cercano a 20%. La respuesta real es mucho mayor. Para 5 partes, el valor esperado de la parte mayor sigue la fórmula del número armónico: H(5)/5 del total. Eso equivale aproximadamente a 46%. El marcador dorado etiquetado E[max] en la línea de distribución de arriba sigue este valor teórico. Sigue dividiendo y observa cómo tus puntos se agrupan alrededor de él.

Uniformidad en el símplex

Geométricamente, todas las formas posibles de dividir 100 en 5 partes no negativas viven en una forma llamada símplex de dimensión (4). Para dos partes, el símplex es un segmento de línea. Para tres partes, es un triángulo. Para cuatro, un tetraedro. El algoritmo de composición aleatoria muestrea uniformemente a lo largo de este objeto geométrico, lo que significa que cada punto en la superficie tiene igual probabilidad. Los matemáticos Peter Gustav Lejeune Dirichlet y posteriormente George Pólya formalizaron la distribución de particiones aleatorias, y la distribución de Dirichlet con todos los parámetros iguales a 1 describe exactamente el análogo continuo de lo que esta herramienta produce con redondeo entero.

Equidad y entropía

Cada división llama a crypto.getRandomValues(), la API Web Cryptography integrada en todos los navegadores modernos. Esta función obtiene datos de fuentes de entropía a nivel de hardware: ruido térmico, fluctuaciones eléctricas y otros procesos físicos de tu dispositivo. Los puntos de corte aleatorios se seleccionan mediante muestreo por rechazo a partir de estas semillas de hardware, garantizando una cobertura uniforme de todas las posiciones válidas. Tu navegador realiza todo el cálculo. El servidor entrega esta página y nada más. Nunca conoce tu resultado.

En el aula

Las proporciones aleatorias son herramientas pedagógicas naturales para fracciones, porcentajes y asignación de recursos. Plantea a los estudiantes un escenario: una escuela tiene un presupuesto de 100 unidades para dividir entre 5 programas. Haz que cada estudiante visite /ratio/5 y divida repetidamente. Registra la asignación más grande cada vez. Después de 20 divisiones por estudiante, calcula el promedio de la clase de la parte mayor. Converge hacia la predicción del número armónico, demostrando cómo la teoría de probabilidades predice el comportamiento agregado incluso cuando los resultados individuales varían enormemente.

Para un ejercicio de gráfico circular, haz que los estudiantes generen una división con /ratio/5, y luego dibujen el gráfico circular correspondiente a mano. Traducir porcentajes a ángulos (cada 1% equivale a 3,6 grados) refuerza la conexión entre fracciones, porcentajes y representación geométrica. La herramienta no requiere cuentas, no recopila datos de estudiantes y no establece cookies.

Privacidad por diseño

Cada división ocurre dentro de tu navegador. El servidor entrega la página. Tu dispositivo genera las proporciones. Los resultados viven en la memoria de tu navegador y en localStorage, totalmente bajo tu control. Compartir esta URL envía la configuración de la herramienta a otra persona. Su dispositivo genera su propia división independiente a partir de su propia fuente de entropía. Dos personas que visitan el mismo enlace producen resultados completamente diferentes cada vez.