رياضيات التقسيمات العشوائية

تقسيم كمية إلى نسب عشوائية هو أحد أقدم المسائل في نظرية الاحتمالات. تخيّل كسر عصا عند نقاط عشوائية وقياس القطع الناتجة. يُسمّي علماء الرياضيات التقسيم الناتج تركيبة عشوائية، وكل تقسيم صالح لـ 100 إلى 4 أجزاء من الأعداد الصحيحة الموجبة يحمل نفس الاحتمال بالضبط. تضع الخوارزمية وراء هذه الأداة 3 نقاط قطع فريدة من بين 99 موضعًا ممكنًا، ثم ترتّبها وتقيس الفجوات. نظيفة وسريعة وعادلة بشكل مُثبت.

مفاجأة العصا المكسورة

اسأل شخصًا أن يخمّن متوسط أكبر قطعة عند كسر عصا إلى 4 أجزاء متساوية الاحتمال. معظم الناس يخمّنون شيئًا قريبًا من 25%. الإجابة الحقيقية أعلى بكثير. بالنسبة لـ 4 أجزاء، يتبع الجزء الأكبر المتوقع صيغة العدد التوافقي: H(4)/4 من الإجمالي. وهذا يعادل تقريبًا 52%. يتتبّع العلامة الذهبية المسمّاة E[max] على خط التوزيع أعلاه هذه القيمة النظرية. استمر في التقسيم وراقب نقاطك تتجمّع حولها.

الانتظام على السمبلكس

هندسيًا، تعيش جميع الطرق الممكنة لتقسيم 100 إلى 4 أجزاء غير سالبة على شكل يُسمّى السمبلكس-(3). بالنسبة لجزأين، السمبلكس هو قطعة مستقيمة. لثلاثة أجزاء، هو مثلث. لأربعة، رباعي أوجه. تأخذ خوارزمية التركيبة العشوائية عيّنات بشكل منتظم عبر هذا الشكل الهندسي، مما يعني أن كل نقطة على السطح لها احتمال متساوٍ. صاغ عالما الرياضيات بيتر غوستاف لوجون ديريكليه ولاحقًا جورج بوليا توزيع التقسيمات العشوائية رسميًا، وتوزيع ديريكليه بمعاملات متساوية تساوي 1 يصف بالضبط النظير المتصل لما تنتجه هذه الأداة مع تقريب الأعداد الصحيحة.

العدالة والإنتروبيا

كل تقسيم يستدعي crypto.getRandomValues()، وهي واجهة Web Cryptography API المدمجة في كل متصفح حديث. تسحب هذه الدالة من مصادر إنتروبيا على مستوى العتاد: الضوضاء الحرارية، والاهتزاز الكهربائي، وعمليات فيزيائية أخرى في جهازك. يتم اختيار نقاط القطع العشوائية من خلال أخذ عيّنات بالرفض من هذه البذور العتادية، مما يضمن تغطية منتظمة لجميع المواضع الصالحة. يقوم متصفحك بكل الحسابات. الخادم يسلّم هذه الصفحة فقط ولا شيء أكثر. لا يعرف نتيجتك أبدًا.

في الفصل الدراسي

النسب العشوائية أدوات تعليمية طبيعية للكسور والنسب المئوية وتوزيع الموارد. أعطِ الطلاب سيناريو: مدرسة لديها ميزانية من 100 وحدة لتقسيمها بين 4 برامج. اطلب من كل طالب زيارة /ratio/4 والتقسيم بشكل متكرر. سجّل أكبر تخصيص في كل مرة. بعد 20 تقسيمًا لكل طالب، احسب متوسط الفصل لأكبر جزء. سيتقارب نحو تنبؤ العدد التوافقي، مما يوضّح كيف تتنبأ نظرية الاحتمالات بالسلوك الإجمالي حتى عندما تتفاوت النتائج الفردية بشكل كبير.

لتمرين المخطط الدائري، اطلب من الطلاب إنشاء تقسيم باستخدام /ratio/5، ثم رسم المخطط الدائري المقابل يدويًا. ترجمة النسب المئوية إلى زوايا (كل 1% تساوي 3.6 درجة) تعزّز الربط بين الكسور والنسب المئوية والتمثيل الهندسي. لا تتطلب الأداة حسابات، ولا تجمع بيانات الطلاب، ولا تضع ملفات تعريف الارتباط.

خصوصية بالتصميم

كل تقسيم يحدث داخل متصفحك. الخادم يسلّم الصفحة. جهازك ينشئ النسب. تبقى النتائج في ذاكرة متصفحك و localStorage، تحت سيطرتك الكاملة. مشاركة هذا الرابط ترسل إعدادات الأداة لشخص آخر. جهازه ينشئ تقسيمه المستقل من مصدر الإنتروبيا الخاص به. شخصان يزوران نفس الرابط ينتجان نتائج مختلفة تمامًا في كل مرة.