الأعداد غير القابلة للقسمة

العدد الأولي له عاملان اثنان فقط: الواحد والعدد نفسه. هذا التعريف البسيط ظاهريًا ينتج واحدة من أعمق البنى في الرياضيات. كل عدد صحيح أكبر من واحد يمكن التعبير عنه كحاصل ضرب فريد من الأعداد الأولية، وهي نتيجة أساسية جدًا لدرجة أنها تُسمى المبرهنة الأساسية في الحساب. العدد 60 هو 2 × 2 × 3 × 5. والعدد 83 هو ببساطة 83. أحدهما يتحلل. والآخر يقف وحده. الأعداد الأولية هي الذرات التي يُبنى منها كل عدد آخر.

لا نهائية وغير قابلة للاختزال

حوالي عام 300 قبل الميلاد، أثبت إقليدس أن الأعداد الأولية لا تنتهي أبدًا. يظل برهانه واحدًا من أكثر البراهين أناقة في الرياضيات كلها: افترض وجود عدد محدود من الأعداد الأولية، اضرب جميعها معًا، وأضف واحدًا، والناتج لا يقبل القسمة على أي منها. لذلك لا بد من وجود عدد أولي آخر. هذا التناقض يثبت أن المعروض لا نهائي. بعد ثلاثة وعشرين قرنًا، لا يزال هذا البرهان يُدرَّس في كل مقرر نظرية أعداد حول العالم، طازجًا كما كان يوم ابتُكر.

بين 2 و 9,999 يوجد بالضبط 1,229 عددًا أوليًا. وبين 2 ومليون، يوجد 78,498. تتضاءل الكثافة مع نمو الأعداد، لكن الأعداد الأولية لا تتوقف أبدًا عن الظهور. مبرهنة الأعداد الأولية، التي حدسها كارل فريدريش غاوس في سن الخامسة عشرة وأثبتها بشكل مستقل كل من جاك هادامار وشارل جان دو لا فاليه بوسان عام 1896، تنص على أن عدد الأعداد الأولية الأقل من N يقترب من N / ln(N). قرب المليار، ما يقارب واحدًا من كل 21 عددًا يكون أوليًا.

كيف تولّد هذه الأداة الأعداد الأولية

للنطاقات حتى مليون، تبني الأداة غربالًا كاملًا للأعداد الأولية في متصفحك باستخدام غربال إراتوستينس، الذي اختُرع حوالي عام 240 قبل الميلاد. تقوم الخوارزمية بحذف الأعداد المركبة بشكل منهجي: احذف مضاعفات 2، ثم مضاعفات 3، ثم 5، وهكذا. ما يبقى هو كل عدد أولي في النطاق. ثم تختار الأداة واحدًا عشوائيًا باستخدام crypto.getRandomValues()، وهو نفس مصدر الإنتروبيا التشفيرية الذي يؤمّن الخدمات المصرفية عبر الإنترنت. كل عدد أولي في النطاق له احتمال اختيار متساوٍ تمامًا.

للنطاقات فوق المليون، تولّد الأداة مرشحين عشوائيين وتختبر كلاً منهم للأولية باستخدام القسمة التجريبية حتى الجذر التربيعي. هذه هي الطريقة الموضحة في رسوم القابلية للقسمة أعلاه: إذا لم يقسم أي عدد صحيح من 2 حتى √N بالتساوي، فالعدد أولي. عند المليار، يكون الجذر التربيعي حوالي 31,623، لذا يستغرق كل اختبار ميكروثوانٍ. النتيجة واحدة: عدد أولي مُتحقق منه، يُختار بعدالة، ويُحسب بالكامل على جهازك.

الأعداد الأولية التوأم والفجوات بينها

الأعداد الأولية التوأم هي أزواج يفصل بينها اثنان فقط: (3, 5)، (11, 13)، (29, 31)، (41, 43). ما إذا كان هناك عدد لا نهائي من الأزواج التوأم لا يزال واحدة من المسائل الكبرى غير المحلولة في الرياضيات. في عام 2013، حقق ييتانغ جانغ اختراقًا بإثباته أن عددًا لا نهائيًا من أزواج الأعداد الأولية يوجد بفجوة لا تتجاوز 70 مليونًا. أعمال تعاونية لاحقة من خلال مشروع بوليماث خفّضت هذا الحد إلى 246. الفجوة من 246 إلى 2 لا تزال مفتوحة.

يعرض قسم الجيران أسفل كل نتيجة بنية الفجوات هذه في الوقت الفعلي. ولّد بضعة أعداد أولية ولاحظ كيف تتغير الفجوات بشكل غير متوقع. عندما تظهر فجوة مقدارها 2، تبرزها الأداة كزوج توأم. تتتبع لوحة الإحصائيات عدد التوائم التي تكتشفها. كل عدد أولي توأم تولّده هذه الأداة هو نقطة بيانات صغيرة في سؤال قاوم البرهان لأكثر من ألفي عام.

في الفصل الدراسي

تُعد الأعداد الأولية البوابة إلى نظرية الأعداد للطلاب في جميع المستويات. اطلب من كل طالب توليد عدد أولي من /prime/2/100 والتحقق منه يدويًا: اقسم على 2، 3، 5، 7. إذا لم يقسم أي منها بالتساوي، فالعدد أولي، لأن 7² = 49 يتجاوز النطاق. تُظهر رسوم القابلية للقسمة فوق النتيجة هذه العملية بالضبط. للطلاب الأكبر سنًا، جرّب /prime/100/999 واستكشف لماذا يحتاج اختبار المزيد من العوامل مع نمو الأعداد. حد الجذر التربيعي هو درس عملي في كفاءة الخوارزميات.

اعرض /prime/1000/9999 وولّد عشرة أعداد أولية. اطلب من الطلاب تحديد الأزواج التوأم وحساب الفجوات بين الأعداد الأولية المتتالية. يبني مخطط التوزيع في لوحة الإحصائيات خريطة مرئية لمواقع الأعداد الأولية. قارن مع تنبؤ مبرهنة الأعداد الأولية: قرب N، كثافة الأعداد الأولية تقريبًا 1/ln(N). لا تتطلب الأداة حسابات، ولا تخزّن بيانات، ولا تضع ملفات تعريف ارتباط. يستخدمها الطلاب دون ترك أي أثر.

خاصة بالتصميم

كل عدد أولي يُولَّد في هذه الصفحة يأتي من مولّد الأرقام العشوائية الخاص بمتصفحك. يُقدّم الخادم الصفحة وخوارزمية الغربال. جهازك يُجري الحساب، ويختار العدد الأولي، ويعرض النتيجة. لا يعرف الخادم أبدًا أي عدد أولي حصلت عليه. يُحفظ سجل التوليد الخاص بك في التخزين المحلي على جهازك، تحت سيطرتك وحدك.